Systems & Signals | Info Church X.

#基本约定

信息量：，以2为底恰好是比特数？

传达信息有很多种方法，优劣的区分？我们倾向于使用：不需要媒介、成本低、简洁、传输速度快、传输可靠的信号有没有反例？加密的时候要复杂，DNA的传递要慢、要有不可靠性（即随机性）

x(t)表示连续信号；x[n]表示离散信号

任何信号可以分为奇信号与偶信号的叠加

#基本信号

单位阶跃信号t=0处可以为任意值；单位阶跃序列

冲击信号，狄利克雷函数；单位冲击序列

采样信号，在t=0处补充定义为1

#信号的自变量变换

左加右减

#典型系统

线性系统

若，则

典型的线性系统

微分器 or

积分器 or

典型的非线性系统

判据：1.每项都有x 2.x只能是一次

时不变系统

若，则，即映射所做的事情与时间零点的平移无关

典型的时不变系统

典型的时变系统

判据：1.t只在x的括号里 2.t只能是t

因果系统

t时刻的输出只与当下和过去的输入有关，而与未来的输入无关

判据：y的括号里的数≥x括号里的数恒成立

y(t)=x(t-1)是因果系统，而y(t)=x(t+1),y(t)=x(2t),y(t)=x(1/2t)均不是因果系统

无记忆系统

t时刻的输出只与当下的输入有关

判据：y的括号里的数=x括号里的数恒成立

无记忆系统一定是因果系统

可逆系统

映射可逆

积分器可逆，而微分器不可逆

稳定系统

若x(t)有界，则y(t)有界

连续微分器、连续积分器、离散积分器均不是稳定系统

但离散微分器是稳定系统

#LTI系统

对线性时不变系统，我们只要知道了一个x(t)的输出y(t)，我们就知道了所有x(t)的输出

显然的事实：对于离散LTI系统，如果知道了的输出，那么通过放缩+平移+叠加，我们就能知道所有x[n]对应的输出【列表法，复杂度O(n^2)，由FFT可以降低到O(nlogn)】

单位脉冲序列x[n]的输出h[n]称为单位脉冲响应。如果两个LTI系统的h[n]一样，那么对于同一个输出，两个LTI系统的输出是一样的⇒两个LTI系统是一样的 ⇒单位脉冲响应是LTI系统的唯一标识

输出计算公式：

卷积公式：

pf.

因

故（线性性）

从而（叠加性），得证

利用卷积公式计算输出

把h[n]翻转后，对于每一位，从刚好“不接触”开始平移一定量，与x[n]相乘再相加，得到h*x[n]

把离散的卷积推广到连续

如果我们知道0~2方波输入的输出【注意不能直接缩小到1/2得到0~1方波输入的输出】，那么我们可以用步长为2的阶梯函数拟合任意的输入，进而得到近似的输出；如果我们知道0~1方波的输出，步长就会变成1，近似变得更加精确

不难发现，我们需要知道冲激函数输入对应的输出冲激响应h(t)

由

由离散同样的推导可知

常见卷积结果：

等长方波⇒三角波

不等长方波⇒梯形波

LTI稳定的充要条件：

LTI因果的充要条件：h(t)在t<0时均为0

#delta函数的性质

勒贝格对函数相等的定义：若，则

在这种定义下，两个函数如果只在可数（与自然数集等势，比“有限”更强）个点不一样，那么两个函数相等

在这种相等的定义下，若，则

pf.

，从而两个函数相等

有很多种定义方式，而它们都是等价的

其中一种：

冲激偶函数

#卷积的性质

交换律

结合律

等价于：

只要说明：x→h_1→h_2→ 和 x→h_2→h_1这两个系统相同即可。这告诉我们，卷积可以随意地交换次序

分配率

pf. （微分器是LTI系统，而其冲激响应为）

再利用卷积可交换即可得证

注意

而

或者（因）

#Fourier Transformation

到这里为止，如果知道了x(t)和h(t)，我们可以算出y(t)=x(t)*h(t)。但是如果我们知道了x(t)和y(t)，能不能算出h(t)呢？

#Fourier级数

记忆：构成正交基，，故ek要取共轭，所以在ak的式子中指数有负号

Fourier本质上就是函数的正交分解。自然，也有其他的正交基，如Haar小波、Legendre多项式、PCA

#从级数到变换

我们想把Fourier级数推广到非周期的函数上（可以理解为）

定义（自变量为w）（Fouirer变换）

则

从而

当，上式转为黎曼积分，下标为，间距为

从而（Fourier逆变换）

以上两个变换可以记作：

；

称x(t)为时域，X(jw)为频域

#级数与变换的联系

#典型Fourier变换

，幅度为E的方波记忆用前者更好，前面系数是方波的面积【原因：取w=0，Sa(0)=1】

，幅度为1的方波

#Fourier变换的性质

线性变换

时移性质

若，则

频移性质

若，则

时域微分性质

若，则

频域微分性质

若，则

时域卷积性质

若，，则

回到开头的问题，如果x(t)*h(t)=y(t)，如何由x(t)、y(t)求出h(t)？只需要得出H(jw)=Y(jw)/X(jw)，然后进行逆变换即可

调制性质

若，，则

积分性质

若，则

实际上，，用卷积性质即可得出RHS

时间尺度变换

若，则

时域胖则频域瘦

对偶性

若，则

注意自变量的变化！

帕斯瓦尔定理

共轭与共轭对称性

实偶→实偶；实奇→虚奇

若x(t)是实函数，则X(jw)实部偶函数，虚部奇函数

也就是说，

其中为偶函数，为奇函数

实际上，也可以用Fourier变换算卷积。欲求x(t)*h(t)，先求出Y(jw)=X(jw)H(jw)，再进行Fourier逆变换得到y(t)

Fourier变换也可以用来处理电路：

从而在频域上，RCL的电路形式是相同的，而由电路分压可以很容易得出各个元件的U与输入电压的关系

得出各个元件频域上的函数后，在通过反变换得到时域上的函数。该方法对所有的输入都适用

#信号的调制与解调

调制

定义：如果一个x(t)经过Fourier变成X(jw)后非零的频带有限，则称x(t)为带限信号

如何把一个不是带限信号的变成带限信号呢？X(jw)乘以一个-w0~w0的方波H(jw)即可，也就是说x(t)乘以

现在假设要传输的x(t)已经是带限信号（假设X(jw)频带上下限为），令（其中称为载波），则Y(jw)表现为两个对称的峰。然后传输y(t)

解调

接收到y(t)后，令，通过调制性质知，W(jw)表现为三个峰【从另一个视角看，，后面那项表现为两个小峰，并被低通滤波器滤掉】

将W(jw)通过一个低通滤波器得到X(jw)，滤波器截止频率应该满足；由时域卷积性质，

调制解调如何避免信号干扰？

如果前后两个cos的w不同，那么其在W(jw)中一定不会在中心位置，而之后前后两个w相同的时候才会在中间。此时再通过一个低通滤波器就能得到相应的信号

#理想低通滤波器

时域上是，频域上是的一个方波

缺点1：非因果。因为h(t)在t<0有值，故做卷积的时候必须要知道整个时间轴上的x(t)。因此理想低通滤波器无法实现实时通信

缺点2：年轮效应。陡峭上升沿会造成全时间段的震荡

#离散Fourier变换

其中的自变量仍然是w，这样写只是为了区分连续和离散的Fourier变换

以为周期。这意味着也是以为周期的

连续Fourier级数：连续→离散

连续Fourier变换：连续→连续

离散Fourier变换：离散→连续

离散Fourier级数：离散→离散

#离散Fourier级数

在离散Fourier变换中，先假设x[n]只在0~N-1有值

在此情况下，是一个“虚假”的连续信号。我们只需要知道在一个周期里的N个值，就能知道所有位置的值（解N元线性方程组）。不妨取为~的N均分点

（把中取成单位根）

因为单位根的特殊性，本来在解方程的时候求矩阵的逆需要，现在可以降到

假设N=4，则:

故的计算变成了两个同质子问题。而当我们计算出下一级FFT的系数和，有：

由此可见，子问题合并的复杂度为，故总复杂度为

用FFT算线性卷积

定义循环卷积：对两个N点序列x和h，

定理：若，，则

注意循环卷积和平时的线性卷积是不一样的，但是我们通过补零可以用循环卷积计算线性卷积。例如两个长度为N和M的序列，只要分别在后面补上0使长度均为N+M-1，循环卷积即为线性卷积

步骤：1.补零 2.把两个序列分别FFT 3.将对应乘积做FFT逆变换

#采样定理

对于带限信号x(t)，假设其频率界限为，则若采样频率，则该信号可以由这些采样点唯一确定

proof:

1)Let ，（）即在采样点取冲激，需要注意仍为连续函数

Notice that , where

由连续函数Fourier级数，

从而

则

2)Let

用定义再算一次

令上式中，则

与比对可知，

的频域如下图，因此当，不会发生频域混叠，可以由离散采样信号x[n]唯一恢复原信号x(t)

我们把称为奈奎斯特采样频率